1985 AMC 12 Problema 30

Question

Sea

\lfloor x\rfloor

el mayor entero menor o igual que

x.

Entonces el número de soluciones reales de

4x^2-40\lfloor x\rfloor+51=0

es

Let

\lfloor x\rfloor

be the greatest integer less than or equal to

x.

Then the number of real solutions to

4x^2-40\lfloor x\rfloor+51=0

is

0

1

2

3

4

Respuesta: E

Conceptos:análisis por casos funciones piso y techo desigualdad cuadrática

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Haz

n=\lfloor x\rfloor

y resuelve la ecuación para

x^2

Set

n=\lfloor x\rfloor

and solve the equation for

x^2

Pista grande:

Impón

n\le x\lt n+1

para determinar qué valores enteros de

n

funcionan

Enforce

n\le x\lt n+1

to determine which integer values of

n

work

Solución:

Sea

n=\lfloor x\rfloor.

Una solución debe ser positiva y satisfacer

\begin{aligned} x&=\sqrt{10n-\frac{51}{4}},\\ n&\le x\lt n+1. \end{aligned}

La desigualdad inferior equivale a

4n^2-40n+51\le0,

así que

n=2,3,\ldots,8.

La desigualdad superior equivale a

4n^2-32n+55\gt0.

Entre

2,\ldots,8,

esto se cumple exactamente para

n=2,6,7,8.

Cada intervalo aporta una raíz, así que hay cuatro soluciones reales.

La respuesta correcta es E.

Let

n=\lfloor x\rfloor.

A solution must be positive and satisfy

\begin{aligned} x&=\sqrt{10n-\frac{51}{4}},\\ n&\le x\lt n+1. \end{aligned}

The lower inequality is equivalent to

4n^2-40n+51\le0,

so

n=2,3,\ldots,8.

The upper inequality is equivalent to

4n^2-32n+55\gt0.

Among

2,\ldots,8,

this holds exactly for

n=2,6,7,8.

Each interval contributes one root, so there are four real solutions.

Therefore the correct answer is E.