1987 AMC 12 Problema 24

Question

¿Cuántas funciones polinómicas

f

de grado

\ge1

satisfacen

f(x^2)=[f(x)]^2=f(f(x))?

How many polynomial functions

f

of degree

\ge1

satisfy

f(x^2)=[f(x)]^2=f(f(x))?

0

1

2

una cantidad finita, pero mayor que

2

finitely many but more than

2

una cantidad infinita

infinitely many

Respuesta: B

Conceptos:polynomial degree leading coefficient ecuación funcional

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Compara los grados y los coeficientes principales de los tres polinomios

Compare the degrees and leading coefficients of the three polynomials

Pista grande:

Después de demostrar que

f

es un polinomio cuadrático mónico, compara coeficientes en

f(x^2)=[f(x)]^2

After proving

f

is a monic quadratic, compare coefficients in

f(x^2)=[f(x)]^2

Solución:

Sea

f

de grado

n\ge1

y coeficiente principal

a.

Las tres expresiones tienen grados

2n,2n,n^2,

por lo que

n^2=2n

y, en consecuencia,

n=2.

Al comparar los coeficientes principales en

f(x^2)=[f(x)]^2

, se obtiene

a=a^2,

de donde

a=1.

Escribamos

f(x)=x^2+bx+c.

Entonces

x^4+bx^2+c=(x^2+bx+c)^2.

El coeficiente cúbico obliga a que

b=0,

y luego el coeficiente cuadrático obliga a que

c=0.

Por tanto, la única candidata es

f(x)=x^2,

que en efecto satisface las tres expresiones. Hay exactamente una función.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

f

have degree

n\ge1

and leading coefficient

a.

The three expressions have degrees

2n,2n,n^2,

so

n^2=2n

and therefore

n=2.

Comparing leading coefficients in

f(x^2)=[f(x)]^2

gives

a=a^2,

hence

a=1.

Write

f(x)=x^2+bx+c.

Then

x^4+bx^2+c=(x^2+bx+c)^2.

The cubic coefficient forces

b=0,

and then the quadratic coefficient forces

c=0.

Thus the only candidate is

f(x)=x^2,

which indeed satisfies all three expressions. There is exactly one function.

Thus the correct answer is B.