1988 AMC 12 Problema 28

Question

Una moneda sesgada tiene probabilidad

p

de caer cara en un solo lanzamiento. Sea

w

la probabilidad de que, en

5

lanzamientos independientes de esta moneda, se obtengan exactamente

3

caras. Si

w=\frac{144}{625},

entonces

An unfair coin has probability

p

of coming up heads on a single toss. Let

w

be the probability that, in

5

independent tosses of this coin, heads come up exactly

3

times. If

w=\frac{144}{625},

then

p

debe ser

\frac{2}{5}

p

must be

\frac{2}{5}

p

debe ser

\frac{3}{5}

p

must be

\frac{3}{5}

p

debe ser mayor que

\frac{3}{5}

p

must be greater than

\frac{3}{5}

p

no está determinado de manera única

p

is not uniquely determined

no existe ningún valor de

p

para el cual

w=\frac{144}{625}

there is no value of

p

for which

w=\frac{144}{625}

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad binomial continuity nonunique solutions

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Escribe

w

como función de

p

mediante el coeficiente binomial

Write

w

as a function of

p

using the binomial coefficient

Pista grande:

Comprueba un valor sencillo y luego compara la función en

p=\frac{3}{5}

y

p=1

Check one simple value, then compare the function at

p=\frac{3}{5}

and

p=1

Solución:

Aquí,

w(p)=10p^3(1-p)^2.

Para

p=\frac{2}{5},

w=10\left(\frac25\right)^3\left(\frac35\right)^2 =\frac{144}{625}.

Además,

w(\frac{3}{5})=\frac{216}{625}>\frac{144}{625},

mientras que

w(1)=0.

Por continuidad, hay otra solución entre

\frac{3}{5}

y

1.

Por tanto,

p

no es único.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

Here

w(p)=10p^3(1-p)^2.

At

p=\frac{2}{5},

w=10\left(\frac25\right)^3\left(\frac35\right)^2 =\frac{144}{625}.

Also

w(\frac{3}{5})=\frac{216}{625}>\frac{144}{625},

while

w(1)=0.

By continuity there is another solution between

\frac{3}{5}

and

1.

Hence

p

is not unique.

Thus the correct answer is D.