1989 AMC 12 Problema 21

Question

Una bandera cuadrada tiene, sobre un fondo blanco, una cruz roja de anchura uniforme con un cuadrado azul en el centro, como se muestra. (La cruz es simétrica respecto de cada diagonal del cuadrado.) Si la cruz completa (tanto los brazos rojos como el centro azul) ocupa el

36\%

del área de la bandera, ¿qué porcentaje del área de la bandera es azul?

A square flag has a red cross of uniform width with a blue square in the center on a white background as shown. (The cross is symmetric with respect to each of the diagonals of the square.) If the entire cross (both the red arms and the blue center) takes up

36\%

of the area of the flag, what percent of the area of the flag is blue?

0.5

1

2

3

6

Respuesta: C

Conceptos:descomposición de áreas porcentaje simetría

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Sea

h

la mitad de una diagonal del cuadrado azul central después de escalar el lado de la bandera a

1

Let

h

be half a diagonal of the central blue square after scaling the flag side to

1

Pista grande:

Los cuatro triángulos blancos de las esquinas tienen área total

(1-2h)^2

The four white corner triangles together have area

(1-2h)^2

Solución:

Escala la bandera a un cuadrado unitario y sea

h

la distancia horizontal desde su centro hasta un vértice del cuadrado azul. Los cuatro triángulos blancos congruentes de las esquinas tienen área total

(1-2h)^2.

Como la cruz ocupa

0.36,

(1-2h)^2=0.64.

Con

0\lt h\lt\frac{1}{2},

esto da

h=0.1.

El cuadrado azul tiene diagonales perpendiculares de longitudes

2h

y

2h,

por lo que su área es

\frac12(2h)^2=2h^2=0.02,

es decir, el

2\%

del área de la bandera.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

Scale the flag to a unit square, and let

h

be the horizontal distance from its center to a vertex of the blue square. The four congruent white corner triangles have total area

(1-2h)^2.

Since the cross occupies

0.36,

(1-2h)^2=0.64.

With

0\lt h\lt\frac{1}{2},

this gives

h=0.1.

The blue square has perpendicular diagonals

2h

and

2h,

so its area is

\frac12(2h)^2=2h^2=0.02,

or

2\%

of the flag.

Thus the correct answer is C.