1989 AMC 12 Problema 7

Question

En

\triangle ABC,

\angle A=100^\circ,

\angle B=50^\circ,

\angle C=30^\circ,

AH

es una altura y

BM

una mediana. Entonces

\angle MHC=

In

\triangle ABC,

\angle A=100^\circ,

\angle B=50^\circ,

\angle C=30^\circ,

AH

is an altitude, and

BM

is a median. Then

\angle MHC=

15^\circ

22.5^\circ

30^\circ

40^\circ

45^\circ

Compara los cambios horizontal y vertical de

H

al punto medio

M

Compare the horizontal and vertical changes from

H

to midpoint

M

Ambos son la mitad de los catetos correspondientes del triángulo rectángulo

AHC

Both changes are half the corresponding legs of right triangle

AHC

Como

M

es punto medio de

AC,

los cambios de

H

a

M

son, en sentido horizontal,

\frac{HC}{2},

y, en sentido vertical,

\frac{AH}{2}.

Por tanto,

\begin{aligned} \tan\angle MHC &=\frac{\frac{AH}{2}}{\frac{HC}{2}}\\ &=\frac{AH}{HC}\\ &=\tan\angle ACH. \end{aligned}

Así,

\angle MHC=\angle C=30^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because

M

is the midpoint of

AC,

the horizontal change from

H

to

M

is

\frac{HC}{2},

while the vertical change is

\frac{AH}{2}.

Thus

\begin{aligned} \tan\angle MHC &=\frac{\frac{AH}{2}}{\frac{HC}{2}}\\ &=\frac{AH}{HC}\\ &=\tan\angle ACH. \end{aligned}

Hence

\angle MHC=\angle C=30^\circ.

Thus the correct answer is C.

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