1992 AMC 12 Problema 23

Question

¿Cuál es el tamaño del mayor subconjunto

S

de

\{1,2,3,\ldots,50\}

tal que ningún par de elementos distintos de

S

tiene suma divisible por

7

?

What is the size of the largest subset

S

of

\{1,2,3,\ldots,50\}

such that no pair of distinct elements of

S

has a sum divisible by

7?

6

7

14

22

23

Respuesta: E

Conceptos:aritmética modular residue classes extremal set

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Agrupa los enteros según sus residuos módulo

7

Group the integers by their residues modulo

7

Pista grande:

Empareja la clase residual

1

con la

6,

la

2

con la

5,

y la

3

con la

4

; trata por separado la clase residual

0

Pair residue classes

1

with

6,

2

with

5,

and

3

with

4

; treat residue

0

separately

Solución:

Las clases residuales

1,2,\ldots,6,0

contienen

8,7,7,7,7,7,7

números, respectivamente. Podemos tomar números de, a lo sumo, una clase de cada par complementario

(1,6),(2,5),(3,4),

y como máximo un múltiplo de

7.

Por tanto,

\begin{aligned} |S|&\le\max(8,7)+\max(7,7)\\ &\qquad+\max(7,7)+1=23. \end{aligned}

Tomar todos los números cuyo residuo módulo

7

es

1,

2,

o

3,

junto con un múltiplo de

7,

alcanza

23.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The residue classes

1,2,\ldots,6,0

contain

8,7,7,7,7,7,7

numbers, respectively. We may take numbers from at most one class in each complementary pair

(1,6),(2,5),(3,4),

and at most one multiple of

7.

Thus

\begin{aligned} |S|&\le\max(8,7)+\max(7,7)\\ &\qquad+\max(7,7)+1=23. \end{aligned}

Taking every number whose residue modulo

7

is

1,

2,

or

3,

together with one multiple of

7,

attains

23.

Thus the correct answer is E.

1992 AMC 12 Problema 23

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años