1998 AMC 12 Problema 23

Question

Las gráficas de

x^2+y^2=4+12x+6y

y

x^2+y^2=k+4x+12y

se intersecan cuando

k

satisface

a\le k\le b,

y para ningún otro valor de

k.

Halla

b-a.

The graphs of

x^2+y^2=4+12x+6y

and

x^2+y^2=k+4x+12y

intersect when

k

satisfies

a\le k\le b,

and for no other values of

k.

Find

b-a.

5

68

104

140

144

Completa cuadrados para hallar los centros y los radios de ambos círculos

Complete the square to find both circle centers and radii

Dos círculos se intersecan exactamente cuando la distancia entre sus centros está entre la diferencia y la suma de sus radios

Two circles intersect exactly when the center distance lies between the difference and sum of their radii

Los círculos son

(x-6)^2+(y-3)^2=49,

(x-2)^2+(y-6)^2=k+40.

Sus centros están a

5

unidades de distancia. Si el segundo radio es

r=\sqrt{k+40},

la intersección exige

|7-r|\le5\le7+r,

o sea,

2\le r\le12.

Por tanto,

-36\le k\le104,

y

b-a=140.

La respuesta correcta es D.

The circles are

(x-6)^2+(y-3)^2=49,

(x-2)^2+(y-6)^2=k+40.

Their centers are

5

units apart. With second radius

r=\sqrt{k+40},

intersection requires

|7-r|\le5\le7+r,

or

2\le r\le12.

Thus

-36\le k\le104,

and

b-a=140.

The correct answer is D.

El Problema 23 en otros años