1993 AMC 12 Problema 18

Question

Al y Barb comienzan sus nuevos trabajos el mismo día. El horario de Al consiste en

3

días de trabajo seguidos de

1

día de descanso. El horario de Barb consiste en

7

días de trabajo seguidos de

3

días de descanso. Durante sus primeros

1000

días, ¿cuántos días descansan ambos a la vez?

Al and Barb start their new jobs on the same day. Al’s schedule is

3

work-days followed by

1

rest-day. Barb’s schedule is

7

work-days followed by

3

rest-days. On how many of their first

1000

days do both have rest-days on the same day?

48

50

72

75

100

Respuesta: E

Conceptos:periodic schedules mínimo común múltiplo counting

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

El horario combinado se repite cada

\operatorname{lcm}(4,10)

días

The combined schedule repeats every

\operatorname{lcm}(4,10)

days

Pista grande:

Dentro de un ciclo de

20

días, compara los días de descanso de Al con los de Barb

Within one

20

-day cycle, compare Al’s rest days with Barb’s

Solución:

El patrón combinado se repite cada

20

días. Al descansa los días

4,

8,

12,

16,

20,

mientras que Barb descansa los días

8,

9,

10,

18,

19,

20.

Sus días de descanso comunes son

8

y

20,

dos por ciclo. Hay

\frac{1000}{20}=50

ciclos, lo que da

2\cdot50=100

días de descanso comunes. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The combined pattern repeats every

20

days. Al rests on days

4,

8,

12,

16,

20,

while Barb rests on days

8,

9,

10,

18,

19,

20.

Their common rest days are

8

and

20,

two per cycle. There are

\frac{1000}{20}=50

cycles, giving

2\cdot50=100

common rest days. Thus the correct answer is E.