1950 AMC 12 Problema 24

Question

La ecuación

x+\sqrt{x-2}=4

tiene:

The equation

x+\sqrt{x-2}=4

has:

2

raíces reales

2

real roots

1

raíz real y

1

raíz imaginaria

1

real and

1

imaginary root

2

raíces imaginarias

2

imaginary roots

Ninguna raíz

No roots

1

raíz real

1

real root

Respuesta: E

Conceptos:radical cuadrática sustitución

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Aísla la raíz cuadrada antes de elevar al cuadrado

Isolate the square root before squaring

Pista grande:

Comprueba en la ecuación original cada raíz de la cuadrática resultante

Check every root of the resulting quadratic in the original equation

Solución:

Al aislar y elevar al cuadrado se obtiene

\begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0. \end{aligned}

Las raíces de la cuadrática son

3

y

6.

El valor

3

satisface la ecuación original, pero

6

da

6+\sqrt4=8,

por lo que es una raíz extraña.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Isolating and squaring gives

\begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0. \end{aligned}

The quadratic roots are

3

and

6.

The value

3

satisfies the original equation, but

6

gives

6+\sqrt4=8,

so it is extraneous.

Thus, the correct answer is E.