1952 AMC 12 Problema 24

Question

En la figura se sabe que el ángulo

C=90^\circ,

AD=DB,

DE\perp AB,

AB=20,

y

AC=12.

El área del cuadrilátero

ADEC

es:

In the figure, it is given that angle

C=90^\circ,

AD=DB,

DE\perp AB,

AB=20,

and

AC=12.

The area of quadrilateral

ADEC

is:

75

58\dfrac12

48

37\dfrac12

Ninguna de las anteriores

None of these

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica triángulo rectángulo área

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Coloca

AB

sobre el eje

x

y halla las coordenadas de

C

a partir de las longitudes de los dos lados

Place

AB

on the

x

-axis and find the coordinates of

C

from the two side lengths

Pista grande:

La perpendicular por el punto medio

D

corta a

CB

en

E

; luego usa la fórmula del cordón con

A,D,E,C

The perpendicular through midpoint

D

meets

CB

at

E

; then use the shoelace formula on

A,D,E,C

Solución:

Como

AB=20,

AC=12,

y el ángulo

C

es recto,

BC=16.

Colocamos

A=(0,0)

y

B=(20,0).

Al resolver

\begin{aligned} x_C^2+y_C^2&=144,\\ (x_C-20)^2+y_C^2&=256 \end{aligned}

se obtiene

C=(\frac{36}{5},\frac{48}{5}).

Además,

D=(10,0).

La recta

CB

corta a

x=10

en

E=(10,\frac{15}{2}).

La fórmula del cordón para

A,D,E,C

da ahora

\begin{aligned} [ADEC] &=\frac12\left( 10\cdot\frac{15}{2} +10\cdot\frac{48}{5}\right.\\ &\qquad\left.{} -\frac{15}{2}\cdot\frac{36}{5}\right)\\ &=\frac{117}{2}=58\frac12. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

AB=20,

AC=12,

and angle

C

is right,

BC=16.

Put

A=(0,0)

and

B=(20,0).

Solving

\begin{aligned} x_C^2+y_C^2&=144,\\ (x_C-20)^2+y_C^2&=256 \end{aligned}

gives

C=(\frac{36}{5},\frac{48}{5}).

Also

D=(10,0).

The line

CB

meets

x=10

at

E=(10,\frac{15}{2}).

The shoelace formula for

A,D,E,C

now gives

\begin{aligned} [ADEC] &=\frac12\left( 10\cdot\frac{15}{2} +10\cdot\frac{48}{5}\right.\\ &\qquad\left.{} -\frac{15}{2}\cdot\frac{36}{5}\right)\\ &=\frac{117}{2}=58\frac12. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.