1954 AMC 12 Problema 13

Question

Un cuadrilátero está inscrito en un círculo. Si en los cuatro arcos determinados por los lados del cuadrilátero se inscriben ángulos sin que corten los lados entre vértices, su suma será:

A quadrilateral is inscribed in a circle. If angles are inscribed in the four arcs cut off by the sides of the quadrilateral, without intersecting the sides between vertices, their sum will be:

180^\circ

540^\circ

360^\circ

450^\circ

1080^\circ

Respuesta: B

Conceptos:ángulo inscrito arco suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Sean

a,b,c,d

las medidas de los cuatro arcos consecutivos

Let the four consecutive arc measures be

a,b,c,d

Pista grande:

Un ángulo cuyo vértice está en el arco de medida

a

intercepta los otros tres arcos, cuya medida total es

360^\circ-a

An angle whose vertex lies in the arc of measure

a

intercepts the other three arcs, of total measure

360^\circ-a

Solución:

Sean

a,b,c,d,

las medidas de los cuatro arcos, cuya suma es

360^\circ.

El ángulo situado en el arco de medida

a

intercepta los otros tres arcos, por lo que mide

\frac{360^\circ-a}{2},

y lo mismo ocurre con los demás. Su suma es

\begin{aligned} &\frac{4(360^\circ)-(a+b+c+d)}2\\ &\qquad=\frac{1080^\circ}{2}\\ &\qquad=540^\circ. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the four arcs have measures

a,b,c,d,

whose sum is

360^\circ.

The angle placed in the arc of measure

a

intercepts the other three arcs, so it measures

\frac{360^\circ-a}{2},

and similarly for the others. Their sum is

\begin{aligned} &\frac{4(360^\circ)-(a+b+c+d)}2\\ &\qquad=\frac{1080^\circ}{2}\\ &\qquad=540^\circ. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.