1957 AMC 12 Problema 24

Question

Si del cuadrado de un número de dos cifras se resta el cuadrado del número formado al invertir las cifras, el resultado no siempre es divisible entre:

If the square of a number of two digits is decreased by the square of the number formed by reversing the digits, then the result is not always divisible by:

9

el producto de las cifras

the product of the digits

la suma de las cifras

the sum of the digits

la diferencia de las cifras

the difference of the digits

11

Respuesta: B

Conceptos:dígitos diferencia de cuadrados divisibilidad

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Representa el número como

10a+b

y su inversión como

10b+a

Represent the number as

10a+b

and its reversal as

10b+a

Pista grande:

Factoriza por completo la diferencia de sus cuadrados

Factor the difference of their squares completely

Solución:

Si las cifras son

a,b,

entonces

\begin{aligned} &(10a+b)^2-(10b+a)^2\\ &\quad=[9(a-b)][11(a+b)]\\ &\quad=99(a-b)(a+b). \end{aligned}

Esto siempre es divisible entre

9,

11,

la suma de las cifras y su diferencia. No tiene por qué ser divisible entre el producto de las cifras; por ejemplo,

21^2-12^2=297

no es divisible entre

2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the digits are

a,b,

then

\begin{aligned} &(10a+b)^2-(10b+a)^2\\ &\quad=[9(a-b)][11(a+b)]\\ &\quad=99(a-b)(a+b). \end{aligned}

This is always divisible by

9,

11,

the digit sum, and the digit difference. It need not be divisible by the digit product; for example,

21^2-12^2=297

is not divisible by

2.

Thus, the correct answer is B.