1967 AMC 12 Problema 30

Question

Un comerciante compró

n

radios por

d

dólares, siendo

d

un entero positivo. Cedió dos radios a un bazar comunitario por la mitad de su costo. Vendió los demás con una ganancia de

\$8

por cada radio. Si la ganancia total fue de

\$72,

entonces el menor valor posible de

n

según la información dada es:

A dealer bought

n

radios for

d

dollars,

d,

a positive integer. He contributed two radios to a community bazaar at half their cost. The rest he sold at a profit of

\$8

on each radio sold. If the overall profit was

\$72,

then the least possible value of

n

for the given information is:

18

16

15

12

11

Respuesta: D

Conceptos:dinero ecuación lineal divisibilidad

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Cada radio cuesta

\frac{d}{n}

dólares

Each radio costs

\frac{d}{n}

dollars

Pista grande:

Escribe el ingreso total de

n-2

ventas con ganancia y dos ventas a mitad de costo

Write the total intake from

n-2

profitable sales and two half-cost sales

Solución:

Las

n-2

ventas regulares producen

(n-2)(\frac{d}{n}+8),

mientras que los dos radios del bazar producen juntos

\frac{d}{n}

. Como el ingreso total es

d+72,

\begin{aligned} &(n-2)\left(\frac dn+8\right)+\frac dn\\ &\qquad=d+72. \end{aligned}

Esto se reduce a

d=8n(n-11).

La positividad exige

n\gt11,

y

n=12

da el entero positivo

d=96.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The

n-2

regular sales bring

(n-2)(\frac{d}{n}+8),

while the two bazaar radios bring

\frac{d}{n}

together. Since the total intake is

d+72,

\begin{aligned} &(n-2)\left(\frac dn+8\right)+\frac dn\\ &\qquad=d+72. \end{aligned}

This reduces to

d=8n(n-11).

Positivity requires

n\gt11,

and

n=12

gives the positive integer

d=96.

Therefore, the correct answer is D.