1967 AMC 12 Problema 9

Question

Sea

K,

en unidades cuadradas, el área de un trapecio tal que la base menor, la altura y la base mayor, en ese orden, forman una progresión aritmética. Entonces:

Let

K,

in square units, be the area of a trapezoid such that the shorter base, the altitude, and the longer base, in that order, are in arithmetic progression. Then:

K

debe ser un entero

K

must be an integer

K

debe ser una fracción racional

K

must be a rational fraction

K

debe ser un número irracional

K

must be an irrational number

K

debe ser un entero o una fracción racional

K

must be an integer or a rational fraction

por separado, ni

(A)

, ni

(B)

, ni

(C)

, ni

(D)

es cierta

taken alone neither

(A)

nor

(B)

nor

(C)

nor

(D)

is true

Respuesta: E

Conceptos:trapecio sucesión aritmética área

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Escribe las tres longitudes como

a-d,

a,

y

a+d

Write the three lengths as

a-d,

a,

and

a+d

Pista grande:

El área resultante es

a^2,

pero el problema no restringe qué clase de número es

a

The resulting area is

a^2,

but the problem does not restrict the kind of number

a

is

Solución:

Sean la base menor, la altura y la base mayor

a-d,

a,

y

a+d.

Entonces

\begin{aligned} K&=\frac12a\bigl((a-d)+(a+d)\bigr)\\ &=a^2. \end{aligned}

Según

a,

esto puede ser un entero, un racional no entero o un irracional. Ninguna de las opciones (A) a (D) tiene que cumplirse.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the shorter base, altitude, and longer base be

a-d,

a,

and

a+d.

Then

\begin{aligned} K&=\frac12a\bigl((a-d)+(a+d)\bigr)\\ &=a^2. \end{aligned}

Depending on

a,

this can be an integer, a nonintegral rational number, or an irrational number. No one of choices (A) through (D) must hold.

Therefore, the correct answer is E.

1967 AMC 12 Problema 9

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años