1970 AMC 12 Problema 10

Question

Sea

F=0.4818181\ldots

un decimal periódico infinito en el que se repiten los dígitos

8

y

1.

Cuando

F

se escribe como fracción irreducible, el denominador excede al numerador en:

Let

F=0.4818181\ldots

be an infinite repeating decimal with the digits

8

and

1

repeating. When

F

is written as a fraction in lowest terms, the denominator exceeds the numerator by:

13

14

29

57

126

Separa el

0.4

inicial de la parte periódica

Separate the initial

0.4

from the repeating tail

La parte periódica es

0.081(1+0.01+0.01^2+\cdots)

The tail is

0.081(1+0.01+0.01^2+\cdots)

Tenemos

\begin{aligned} F&=0.4+0.081(1+0.01+\cdots)\\ &=\frac25+\frac{0.081}{0.99}\\ &=\frac25+\frac9{110}\\ &=\frac{53}{110}. \end{aligned}

El denominador excede al numerador en

110-53=57.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have

\begin{aligned} F&=0.4+0.081(1+0.01+\cdots)\\ &=\frac25+\frac{0.081}{0.99}\\ &=\frac25+\frac9{110}\\ &=\frac{53}{110}. \end{aligned}

The denominator exceeds the numerator by

110-53=57.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 10 en otros años