1971 AMC 12 Problema 24

Question

El triángulo de Pascal es un arreglo de enteros positivos, mostrado abajo, en el que la primera fila es

1,

la segunda fila contiene dos

1

, cada fila comienza y termina con

1,

y cada otra entrada es la suma de las dos entradas situadas encima.

El cociente entre el número de entradas de las primeras

n

filas que no son

1

y el número de entradas que sí son

1

es:

Pascal’s triangle is an array of positive integers, shown below, in which the first row is

1,

the second row is two

1

’s, each row begins and ends with

1,

and each other entry is the sum of the two entries above it.

The quotient of the number of entries in the first

n

rows which are not

1

’s and the number of

1

’s is:

\dfrac{n^2-n}{2n-1}

\dfrac{n^2-n}{4n-2}

\dfrac{n^2-2n}{2n-1}

\dfrac{n^2-3n+2}{4n-2}

Ninguna de estas

None of these

Respuesta: D

Conceptos:Triángulo de Pascal sucesión aritmética conteo básico

Nivel de dificultad: 1760

Pista pequeña:

Cuenta todas las entradas y resta después los

1

de la frontera

Count all entries and then subtract the boundary

1

’s

Pista grande:

Las primeras

n

filas contienen

\frac{n(n+1)}{2}

entradas y

2n-1

valores

1

en la frontera

The first

n

rows contain

\frac{n(n+1)}{2}

entries and

2n-1

boundary

1

’s

Solución:

Las primeras

n

filas contienen

1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

entradas. Hay

2n-1

valores

1

en la frontera, así que el número de las demás entradas es

\begin{gathered} \frac{n(n+1)}2-(2n-1)\\ =\frac{n^2+n-4n+2}{2}\\ =\frac{n^2-3n+2}{2}. \end{gathered}

Al dividir entre

2n-1

, se obtiene

\frac{n^2-3n+2}{4n-2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The first

n

rows contain

1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

entries. There are

2n-1

boundary

1

’s, so the number of other entries is

\begin{gathered} \frac{n(n+1)}2-(2n-1)\\ =\frac{n^2+n-4n+2}{2}\\ =\frac{n^2-3n+2}{2}. \end{gathered}

Dividing by

2n-1

gives

\frac{n^2-3n+2}{4n-2}.

Therefore, the correct answer is D.