1974 AMC 12 Problema 9

Question

Los enteros mayores que uno se ordenan en cinco columnas como sigue:

	$2$	$3$	$4$	$5$
$9$	$8$	$7$	$6$
	$10$	$11$	$12$	$13$
$17$	$16$	$15$	$14$
	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

(En cada fila aparecen cuatro enteros consecutivos; en la primera, tercera y demás filas impares, los enteros ocupan las últimas cuatro columnas y aumentan de izquierda a derecha; en la segunda, cuarta y demás filas pares, ocupan las primeras cuatro columnas y aumentan de derecha a izquierda.)

¿En qué columna aparecerá el número

1{,}000

?

The integers greater than one are arranged in five columns as follows:

	$2$	$3$	$4$	$5$
$9$	$8$	$7$	$6$
	$10$	$11$	$12$	$13$
$17$	$16$	$15$	$14$
	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

(Four consecutive integers appear in each row; in the first, third and other odd numbered rows, the integers appear in the last four columns and increase from left to right; in the second, fourth and other even numbered rows, the integers appear in the first four columns and increase from right to left.)

In which column will the number

1{,}000

fall?

primera

first

segunda

second

tercera

third

cuarta

fourth

quinta

fifth

Respuesta: B

Conceptos:reconocimiento de patrones aritmética modular

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Observa dónde aparecen los múltiplos de

8

mostrados

Look at where the displayed multiples of

8

occur

Pista grande:

Cada ciclo de dos filas contiene ocho enteros consecutivos

Each two-row cycle contains eight consecutive integers

Solución:

Cada par de filas forma un bloque repetitivo de ocho enteros. En cada bloque, su múltiplo de

8

está en la segunda columna, como ocurre con

8

y

16.

Como

1000=125\cdot8,

también está en la segunda columna.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each pair of rows is a repeating block of eight integers. In every such block, its multiple of

8

lies in the second column, as do

8

and

16.

Since

1000=125\cdot8,

it also lies in the second column.

Therefore, the correct answer is B.