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1975 AMC 12 Problema 24

Intenta el Problema 24 del 1975 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1975 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

En el triángulo ABC,ABC, ∠C=θ\angle C=\theta y ∠B=2θ,\angle B=2\theta, donde 0∘<θ<60∘.0^\circ\lt\theta\lt60^\circ. El círculo con centro AA y radio ABAB corta a ACAC en DD y corta a BC,BC, prolongado si es necesario, en BB y en EE (EE puede coincidir con BB). Entonces EC=ADEC=AD
In triangle ABC,ABC, ∠C=θ\angle C=\theta and ∠B=2θ,\angle B=2\theta, where 0∘<θ<60∘.0^\circ\lt\theta\lt60^\circ. The circle with center AA and radius ABAB intersects ACAC at DD and intersects BC,BC, extended if necessary, at BB and at EE (EE may coincide with BB). Then EC=ADEC=AD
para ningún valor de θ\theta
for no values of θ\theta
solo si θ=45∘\theta=45^\circ
only if θ=45∘\theta=45^\circ
solo si 0∘<θ≤45∘0^\circ\lt\theta\le45^\circ
only if 0∘<θ≤45∘0^\circ\lt\theta\le45^\circ
solo si 45∘≤θ<60∘45^\circ\le\theta\lt60^\circ
only if 45∘≤θ<60∘45^\circ\le\theta\lt60^\circ
para todo θ\theta tal que 0∘<θ<60∘0^\circ\lt\theta\lt60^\circ
for all θ\theta such that 0∘<θ<60∘0^\circ\lt\theta\lt60^\circ
Respuesta: E
Conceptos:círculotriángulo isóscelespersecución de ángulos
Nivel de dificultad: 2220
Pista pequeña:
Como AB=AE=AD,AB=AE=AD, estudia primero el triángulo isósceles ABEABE
Because AB=AE=AD,AB=AE=AD, first study the isosceles triangle ABEABE
Pista grande:
Ya sea que EE esté en BCBC o en su prolongación, el seguimiento de ángulos da ∠EAC=∠ECA=θ\angle EAC=\angle ECA=\theta
Whether EE lies on BCBC or its extension, angle chasing gives ∠EAC=∠ECA=θ\angle EAC=\angle ECA=\theta
Solución:
Como AB=AE,AB=AE, el triángulo ABEABE es isósceles. Para 0∘<θ<45∘,0^\circ\lt\theta\lt45^\circ, EE está entre B,CB,C; el teorema del ángulo exterior en el triángulo AECAEC da 2θ=∠EAC+θ,2\theta=\angle EAC+\theta, por lo que ∠EAC=θ.\angle EAC=\theta. Para 45∘<θ<60∘,45^\circ\lt\theta\lt60^\circ, EE está más allá de BB; entonces ∠AEC=180∘−2θ,\angle AEC=180^\circ-2\theta, y por tanto ∠EAC=180∘−(180∘−2θ)−θ=θ. \begin{aligned} \angle EAC &=180^\circ\\ &\quad-(180^\circ-2\theta)-\theta\\ &=\theta. \end{aligned} Cuando θ=45∘, E=B\theta=45^\circ,\ E=B y la conclusión es inmediata. Así, el triángulo AECAEC siempre es isósceles, por lo que EC=EA=AD.EC=EA=AD.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Since AB=AE,AB=AE, triangle ABEABE is isosceles. For 0∘<θ<45∘,0^\circ\lt\theta\lt45^\circ, EE lies between B,CB,C; the exterior-angle theorem in triangle AECAEC gives 2θ=∠EAC+θ,2\theta=\angle EAC+\theta, so ∠EAC=θ.\angle EAC=\theta. For 45∘<θ<60∘,45^\circ\lt\theta\lt60^\circ, EE lies beyond BB; then ∠AEC=180∘−2θ,\angle AEC=180^\circ-2\theta, hence ∠EAC=180∘−(180∘−2θ)−θ=θ. \begin{aligned} \angle EAC &=180^\circ\\ &\quad-(180^\circ-2\theta)-\theta\\ &=\theta. \end{aligned} At θ=45∘, E=B\theta=45^\circ,\ E=B and the conclusion is immediate. Thus triangle AECAEC is always isosceles, so EC=EA=AD.EC=EA=AD.
Therefore, the correct answer is E.

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