1976 AMC 12 Problema 10

Question

Si

m,

n,

p

y

q

son números reales,

f(x)=mx+n

y

g(x)=px+q,

entonces la ecuación

f(g(x))=g(f(x))

tiene una solución

If

m,

n,

p

and

q

are real numbers and

f(x)=mx+n

and

g(x)=px+q,

then the equation

f(g(x))=g(f(x))

has a solution

para todos los valores de

m,

n,

p

y

q

for all choices of

m,

n,

p

and

q

si y solo si

m=p

y

n=q

if and only if

m=p

and

n=q

si y solo si

mq-np=0

if and only if

mq-np=0

si y solo si

n(1-p)-q(1-m)=0

if and only if

n(1-p)-q(1-m)=0

si y solo si

(1-n)(1-p)

{}-(1-q)(1-m)=0

if and only if

(1-n)(1-p)

{}-(1-q)(1-m)=0

Respuesta: D

Conceptos:función ecuación lineal manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Desarrolla ambas composiciones antes de intentar despejar

x

Expand both compositions before trying to solve for

x

Pista grande:

Los coeficientes de

x

son automáticamente iguales; solo queda una condición sobre los términos constantes

The coefficients of

x

are automatically equal, leaving a condition on the constant terms

Solución:

Tenemos

\begin{aligned} f(g(x))&=mpx+mq+n,\\ g(f(x))&=pmx+pn+q. \end{aligned}

Los términos en

x

se cancelan para todo

x,

así que existe una solución exactamente cuando

mq+n=pn+q.

Al reordenar se obtiene

n(1-p)-q(1-m)=0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have

\begin{aligned} f(g(x))&=mpx+mq+n,\\ g(f(x))&=pmx+pn+q. \end{aligned}

The

x

-terms cancel for every

x,

so a solution exists exactly when

mq+n=pn+q.

Rearranging gives

n(1-p)-q(1-m)=0.

Therefore, the correct answer is D.

1976 AMC 12 Problema 10

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años