1976 AMC 12 Problema 18

Question

En la figura adjunta,

AB

es tangente en

A

al círculo de centro

O;

el punto

D

está en el interior del círculo; y

DB

corta al círculo en

C.

Si

BC=DC=3,

OD=2

y

AB=6,

entonces el radio del círculo es

In the adjoining figure,

AB

is tangent at

A

to the circle with center

O;

point

D

is interior to the circle; and

DB

intersects the circle at

C.

If

BC=DC=3,

OD=2

and

AB=6,

then the radius of the circle is

3+\sqrt3

\frac{15}{\pi}

\frac92

2\sqrt6

\sqrt{22}

Respuesta: E

Conceptos:círculo recta tangente potencia de un punto

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Prolonga

BD

más allá de

D

hasta volver a cortar el círculo en

E

Extend

BD

through

D

to meet the circle again at

E

Pista grande:

Usa primero

BC\cdot BE=AB^2

y luego la potencia del punto interior

D

Use

BC\cdot BE=AB^2

first, then use the power of interior point

D

Solución:

Prolonga

BD

más allá de

D

hasta cortar el círculo en

E.

Como

BC=3

y

BD=6,

el teorema tangente-secante da

3\cdot BE=AB^2=36,

de modo que

BE=12

y

DE=6.

La potencia de

D

da

\begin{aligned} DC\cdot DE&=(R-OD)(R+OD)\\ &=R^2-OD^2, \end{aligned}

por lo que

3\cdot6=(R-2)(R+2)=R^2-4.

Así,

R^2=22

y

R=\sqrt{22}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Extend

BD

through

D

to meet the circle at

E.

Since

BC=3

and

BD=6,

the tangent-secant theorem gives

3\cdot BE=AB^2=36,

so

BE=12

and

DE=6.

The power of

D

gives

\begin{aligned} DC\cdot DE&=(R-OD)(R+OD)\\ &=R^2-OD^2, \end{aligned}

hence

3\cdot6=(R-2)(R+2)=R^2-4.

Thus

R^2=22

and

R=\sqrt{22}.

Therefore, the correct answer is E.