1979 AMC 12 Problema 10

Question

Si

P_1P_2P_3P_4P_5P_6

es un hexágono regular cuya apotema (distancia del centro al punto medio de un lado) es

2,

y

Q_i

es el punto medio del lado

P_iP_{i+1}

para

i=1,

2,

3,

y

4,

entonces el área del cuadrilátero

Q_1Q_2Q_3Q_4

es

If

P_1P_2P_3P_4P_5P_6

is a regular hexagon whose apothem (distance from the center to the midpoint of a side) is

2,

and

Q_i

is the midpoint of side

P_iP_{i+1}

for

i=1,

2,

3,

4,

then the area of quadrilateral

Q_1Q_2Q_3Q_4

is

6

2\sqrt6

\frac{8\sqrt3}{3}

3\sqrt3

4\sqrt3

Respuesta: D

Conceptos:polígono regular triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Los puntos

Q_i

están sobre un círculo cuyo radio es igual a la apotema

The points

Q_i

lie on a circle of radius equal to the apothem

Pista grande:

Une el centro con los cuatro puntos medios consecutivos y descompón el cuadrilátero

Join the center to the four consecutive side midpoints and decompose the quadrilateral

Solución:

Sea

O

el centro. Las apotemas consecutivas

OQ_i

y

OQ_{i+1}

tienen longitud

2

y forman un ángulo de

60^\circ

, por lo que cada

\triangle OQ_iQ_{i+1}

es equilátero de lado

2.

El cuadrilátero es la unión de tres de estos triángulos y, por tanto, tiene área

3\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=3\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

O

be the center. Consecutive apothems

OQ_i

and

OQ_{i+1}

have length

2

and form a

60^\circ

angle, so each

\triangle OQ_iQ_{i+1}

is equilateral of side

2.

The quadrilateral is the union of three such triangles, and hence has area

3\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=3\sqrt3.

Therefore, the correct answer is D.