1981 AMC 12 Problema 27

Question

En la figura adjunta, el triángulo

ABC

está inscrito en un círculo. El punto

D

está en

\overset{\frown}{AC}

, con

\overset{\frown}{DC}=30^\circ,

y el punto

G

está en

\overset{\frown}{BA}

, con

\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}.

Los lados

AB

y

AC

tienen cada uno la misma longitud que la cuerda

DG,

y

\angle CAB=30^\circ.

La cuerda

DG

corta los lados

AC

y

AB

en

E

y

F,

respectivamente. La razón entre el área de

\triangle AFE

y el área de

\triangle ABC

es

In the adjoining figure triangle

ABC

is inscribed in a circle. Point

D

lies on

\overset{\frown}{AC}

with

\overset{\frown}{DC}=30^\circ,

and point

G

lies on

\overset{\frown}{BA}

with

\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}.

Side

AB

and side

AC

each have length equal to the length of chord

DG,

and

\angle CAB=30^\circ.

Chord

DG

intersects sides

AC

and

AB

at

E

and

F,

respectively. The ratio of the area of

\triangle AFE

to the area of

\triangle ABC

is

\frac{2-\sqrt3}{3}

\frac{2\sqrt3-3}{3}

7\sqrt3-12

3\sqrt3-5

\frac{9-5\sqrt3}{3}

Respuesta: C

Conceptos:arco cuerda razón de áreas

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Usa las cuerdas iguales para identificar los arcos iguales pertinentes y los triángulos isósceles

Use equal chords to identify the relevant equal arcs and isosceles triangles

Pista grande:

Normaliza

AB=AC=DG=1

y halla

AE

mediante un triángulo

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

Normalize

AB=AC=DG=1

and find

AE

from a

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

triangle

Solución:

Ajusta la escala para que

AB=AC=DG=1.

Las relaciones entre arcos correspondientes a cuerdas iguales muestran que el triángulo

DEC

es un triángulo

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

y que

AE=DE.

Sea

AE=DE=x.

Entonces

CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3},

por lo que

x=2\sqrt3-3.

Las cuerdas iguales también dan

AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}.

Por tanto,

\begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Scale so

AB=AC=DG=1.

The equal-chord arc relations show that triangle

DEC

is

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

and

AE=DE.

Put

AE=DE=x.

Then

CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3},

so

x=2\sqrt3-3.

Equal chords also give

AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}.

Hence

\begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.