1984 AMC 12 Problema 24

Question

Si

a

y

b

son números reales positivos y cada una de las ecuaciones

\begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned}

tiene raíces reales, entonces el menor valor posible de

a+b

es

If

a

and

b

are positive real numbers and each of the equations

\begin{aligned} x^2+ax+2b&=0,\\ x^2+2bx+a&=0 \end{aligned}

has real roots, then the smallest possible value of

a+b

is

2

3

4

5

6

Respuesta: E

Conceptos:cuadrática desigualdad

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Exige que los discriminantes de las dos ecuaciones cuadráticas sean no negativos

Require both quadratic discriminants to be nonnegative

Pista grande:

Combina

a^2\ge8b

y

b^2\ge a

para acotar

a

y

b

Combine

a^2\ge8b

and

b^2\ge a

to bound

a

and

b

Solución:

Los dos discriminantes dan

a^2\ge8b

y

b^2\ge a.

Por lo tanto,

a^4\ge64b^2\ge64a.

Como

a\gt0,

esto implica

a\ge4,

y entonces

b^2\ge a\ge4

da

b\ge2.

Así,

a+b\ge6.

La igualdad ocurre cuando

a=4,b=2,

y ambos discriminantes son cero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two discriminants give

a^2\ge8b

and

b^2\ge a.

Therefore

a^4\ge64b^2\ge64a.

Since

a\gt0,

this yields

a\ge4,

and then

b^2\ge a\ge4

gives

b\ge2.

Thus

a+b\ge6.

Equality occurs at

a=4,b=2,

for which both discriminants are zero.

Therefore, the correct answer is E.