1985 AMC 12 Problema 9

Intenta el Problema 9 del 1985 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1985 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

Los enteros positivos impares 1,1, 3,3, 5,5, 7,7, …,\ldots, se disponen en cinco columnas siguiendo el patrón mostrado. Contando desde la izquierda, la columna en la que aparece 19851985 es la 135715131191719212331292725333537394745434149515355 \begin{array}{ccccc} &1&3&5&7\\ 15&13&11&9&\\ &17&19&21&23\\ 31&29&27&25&\\ &33&35&37&39\\ 47&45&43&41&\\ &49&51&53&55 \end{array}
The odd positive integers, 1,1, 3,3, 5,5, 7,7, …,\ldots, are arranged in five columns continuing with the pattern shown. Counting from the left, the column in which 19851985 appears is the 135715131191719212331292725333537394745434149515355 \begin{array}{ccccc} &1&3&5&7\\ 15&13&11&9&\\ &17&19&21&23\\ 31&29&27&25&\\ &33&35&37&39\\ 47&45&43&41&\\ &49&51&53&55 \end{array}
primera
first
segunda
second
tercera
third
cuarta
fourth
quinta
fifth
Respuesta: B
Conceptos:sucesión aritméticaaritmética modularreconocimiento de patrones
Pista pequeña:
Observa los elementos que comienzan cada fila de izquierda a derecha
Look at the entries that begin each left-to-right row
Pista grande:
Relaciona 19851985 con un múltiplo cercano de 1616
Relate 19851985 to a nearby multiple of 1616
Solución:
El último número de cada fila que va de derecha a izquierda es 16k−1,16k-1, y la fila siguiente comienza con 16k+116k+1 en la segunda columna. Como 1985=16⋅124+1,1985=16\cdot124+1, comienza una fila de ese tipo y está en la segunda columna.
Así, la respuesta correcta es B.
The last number in each right-to-left row is 16k−1,16k-1, and the next row begins with 16k+116k+1 in the second column. Since 1985=16⋅124+1,1985=16\cdot124+1, it begins such a row and lies in the second column.
Thus the correct answer is B.
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