1989 AMC 12 Problema 27

Question

Sea

n

un entero positivo. Si la ecuación

2x+2y+z=n

tiene

28

soluciones en enteros positivos

x,

y

y

z,

entonces

n

debe ser

Let

n

be a positive integer. If the equation

2x+2y+z=n

has

28

solutions in positive integers

x,

y

and

z,

then

n

must be either

14

o

15

14

or

15

15

o

16

15

or

16

16

o

17

16

or

17

17

o

18

17

or

18

18

o

19

18

or

19

Respuesta: D

Conceptos:Ecuación diofántica sumatoria conteo de pares

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Agrupa las soluciones según

s=x+y

Group solutions according to

s=x+y

Pista grande:

Para un

s

fijo, cuenta los pares ordenados positivos

(x,y)

y exige que

n-2s\ge1

For fixed

s,

count the positive ordered pairs

(x,y)

and require

n-2s\ge1

Solución:

Para

s=x+y\ge2,

hay

s-1

pares ordenados positivos

(x,y),

y

z=n-2s

es positivo cuando

s\le\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor.

Si escribimos

m=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor,

el número de soluciones es

\sum_{s=2}^{m}(s-1)=\frac{m(m-1)}2.

Al igualarlo a

28

se obtiene

m=8.

Por tanto,

\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor=8,

así que

n=17

o

18.

Por tanto, la respuesta correcta es D.

For

s=x+y\ge2,

there are

s-1

positive ordered pairs

(x,y),

and

z=n-2s

is positive when

s\le\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor.

Writing

m=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor,

the number of solutions is

\sum_{s=2}^{m}(s-1)=\frac{m(m-1)}2.

Setting this equal to

28

gives

m=8.

Hence

\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor=8,

so

n=17

or

18.

Thus the correct answer is D.