1990 AMC 12 Problema 27

Question

¿Cuál de estas ternas no podría representar las longitudes de las tres alturas de un triángulo?

Which of these triples could not be the lengths of the three altitudes of a triangle?

1,

\sqrt3,

2

3,

4,

5

5,

12,

13

7,

8,

\sqrt{113}

8,

15,

17

Respuesta: C

Conceptos:desigualdad triangular altura reciprocal

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Para un área fija

K,

el lado correspondiente a una altura

h

es igual a

\frac{2K}{h}

For fixed area

K,

a side corresponding to altitude

h

equals

\frac{2K}{h}

Pista grande:

Comprueba la desigualdad triangular con los recíprocos de cada terna

Test the triangle inequality on the reciprocals of each triple

Solución:

Si las alturas son

h_1,h_2,h_3,

los lados correspondientes son proporcionales a

\frac{1}{h_1},\frac{1}{h_2},\frac{1}{h_3}.

Para

5,12,13,

\frac15\gt\frac1{12}+\frac1{13},

por lo que los recíprocos no satisfacen la desigualdad triangular. Una comprobación directa muestra que los recíprocos de las demás ternas de la lista satisfacen todas las desigualdades triangulares estrictas.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

If the altitudes are

h_1,h_2,h_3,

then the corresponding sides are proportional to

\frac{1}{h_1},\frac{1}{h_2},\frac{1}{h_3}.

For

5,12,13,

\frac15\gt\frac1{12}+\frac1{13},

so the reciprocals fail the triangle inequality. Direct checking shows that the reciprocals of each other listed triple satisfy all strict triangle inequalities.

Thus the correct answer is C.