1993 AMC 12 Problema 8

Question

Sean

C_1

y

C_2

dos círculos de radio

1

que están en el mismo plano y son tangentes entre sí. ¿Cuántos círculos de radio

3

están en este plano y son tangentes tanto a

C_1

como a

C_2

?

Let

C_1

and

C_2

be circles of radius

1

that are in the same plane and tangent to each other. How many circles of radius

3

are in this plane and tangent to both

C_1

and

C_2?

2

4

5

6

8

Respuesta: D

Conceptos:circunferencias tangentes circle intersections análisis por casos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Un círculo de radio

3

puede ser tangente interior o exteriormente a cada círculo unitario

A radius-

3

circle can be internally or externally tangent to each unit circle

Pista grande:

Para su centro, considera los pares de distancias

(4,4),

(2,2),

(4,2),

y

(2,4)

For its center, consider distance pairs

(4,4),

(2,2),

(4,2),

and

(2,4)

Solución:

Los centros de los círculos unitarios tangentes están separados

2

unidades. Para tangencia exterior, el nuevo centro debe estar a

4

unidades del centro de un círculo unitario; para tangencia interior, a

2

unidades. El par de distancias

(4,4)

da dos centros, al igual que

(2,2).

Cada par mixto

(4,2)

y

(2,4)

da un centro porque los círculos correspondientes para los centros son tangentes interiormente. Por tanto, hay

2+2+1+1=6

círculos. La respuesta correcta es D.

Let the centers of the tangent unit circles be

2

units apart. The new center must be

4

units from a unit-circle center for external tangency and

2

units away for internal tangency. The distance pair

(4,4)

gives two centers, as does

(2,2).

Each mixed pair

(4,2)

and

(2,4)

gives one center because the corresponding center-circles are internally tangent. Hence there are

2+2+1+1=6

circles. Thus the correct answer is D.