1998 AMC 12 Problema 24

Question

Un número telefónico de

7

cifras

d_1d_2d_3

-

d_4d_5d_6d_7

se llama memorable si la secuencia del prefijo

d_1d_2d_3

coincide exactamente con alguna de las secuencias

d_4d_5d_6

o

d_5d_6d_7

(o con ambas). Suponiendo que cada

d_i

puede ser cualquiera de las diez cifras decimales

0,

1,

2,

\ldots,

9,

el número de teléfonos memorables distintos es

Call a

7

-digit telephone number

d_1d_2d_3

-

d_4d_5d_6d_7

memorable if the prefix sequence

d_1d_2d_3

is exactly the same as either of the sequences

d_4d_5d_6

or

d_5d_6d_7

(possibly both). Assuming that each

d_i

can be any of the ten decimal digits

0,

1,

2,

\ldots,

9,

the number of different memorable telephone numbers is

19{,}810

19{,}910

19{,}990

20{,}000

20{,}100

Cuenta por separado los números que satisfacen cada una de las dos condiciones de coincidencia

Count numbers satisfying each of the two matching conditions separately

Si se cumplen ambas coincidencias, las siete cifras quedan determinadas por una sola cifra repetida

If both matches hold, all seven digits are forced by one repeated digit

Cada condición de coincidencia da

10^4=10,000

números: se eligen las tres cifras del prefijo y la única cifra restante sin restricción. Si se cumplen ambas, entonces

d_1d_2d_3=d_4d_5d_6=d_5d_6d_7,

lo que obliga a que todas las cifras sean iguales, así que hay

10

intersecciones. Por inclusión-exclusión se obtienen

10,000+10,000-10=19,990,

por lo que la respuesta correcta es C.

Each matching condition gives

10^4=10,000

numbers: choose the three prefix digits and the one unconstrained remaining digit. If both hold, then

d_1d_2d_3=d_4d_5d_6=d_5d_6d_7,

forcing all digits equal, so there are

10

overlaps. Inclusion-exclusion gives

10,000+10,000-10=19,990,

so C is correct.

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