1956 AMC 12 Problema 24

Question

En la figura,

AB=AC,

el ángulo

BAD=30^\circ,

y

AE=AD.

Entonces el ángulo

CDE

es igual a:

In the figure

AB=AC,

angle

BAD=30^\circ,

and

AE=AD.

Then angle

CDE

equals:

7\dfrac12^\circ

10^\circ

12\dfrac12^\circ

15^\circ

20^\circ

Respuesta: D

Conceptos:isosceles triangles persecución de ángulos supplementary angles

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Sea

\angle DAE=\alpha

y expresa el ángulo de la base en

C

usando el triángulo isósceles

ABC

Let

\angle DAE=\alpha

and express the base angle at

C

using isosceles triangle

ABC

Pista grande:

Usa

AE=AD

para expresar

\angle ADE,

y después divide el ángulo llano en

D

Use

AE=AD

to express

\angle ADE,

then split the straight angle at

D

Solución:

Sea

\angle DAE=\alpha.

Como

AB=AC

y

AE=AD,

\begin{aligned} \angle ACB&=75^\circ-\frac\alpha2,\\ \angle ADE&=90^\circ-\frac\alpha2. \end{aligned}

El triángulo

ACD

da

\angle ADC=180^\circ-\alpha-\angle ACB,

así que

\angle ADC=105^\circ-\frac\alpha2.

Como

\angle ADC=\angle ADE+x,

\begin{aligned} x&=\left(105^\circ-\frac\alpha2\right) -\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &=15^\circ. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

\angle DAE=\alpha.

Since

AB=AC

and

AE=AD,

\begin{aligned} \angle ACB&=75^\circ-\frac\alpha2,\\ \angle ADE&=90^\circ-\frac\alpha2. \end{aligned}

Triangle

ACD

gives

\angle ADC=180^\circ-\alpha-\angle ACB,

so

\angle ADC=105^\circ-\frac\alpha2.