1959 AMC 12 Problema 10

Question

En el triángulo

ABC,

con

\overline{AB}=\overline{AC}=3.6,

se toma un punto

D

sobre

\overline{AB}

a una distancia

1.2

de

A.

Se une

D

con un punto

E

en la prolongación de

\overline{AC}

de modo que el triángulo

AED

tenga la misma área que el triángulo

ABC.

Entonces

\overline{AE}

es igual a:

In triangle

ABC,

with

\overline{AB}=\overline{AC}=3.6,

a point

D

is taken on

\overline{AB}

at a distance

1.2

from

A.

Point

D

is joined to point

E

in the prolongation of

\overline{AC}

so that triangle

AED

is equal in area to triangle

ABC.

Then

\overline{AE}

equals:

4.8

5.4

7.2

10.8

12.6

Respuesta: D

Conceptos:área del triángulo razón de áreas

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Compara las alturas desde

B

y

D

hasta la recta

AC

Compare the altitudes from

B

and

D

to the line

AC

Pista grande:

Como

\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},

la altura desde

D

es un tercio de la altura desde

B

Because

\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},

the altitude from

D

is one-third the altitude from

B

Solución:

Los triángulos

AED

y

ABC

usan bases sobre la misma recta

AC.

Como

\frac{AD}{AB}=\frac{1.2}{3.6}=\frac13,

la distancia perpendicular de

D

a la recta

AC

es un tercio de la distancia correspondiente desde

B.

Por lo tanto, la igualdad de áreas exige

AE\left(\frac h3\right)=AC(h),

de modo que

AE=3AC=10.8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Triangles

AED

and

ABC

use bases on the same line

AC.

Since

\frac{AD}{AB}=\frac{1.2}{3.6}=\frac13,

the perpendicular distance from

D

to line

AC

is one-third the corresponding distance from

B.

Equality of areas therefore requires

AE\left(\frac h3\right)=AC(h),

so

AE=3AC=10.8.

Thus, the correct answer is D.