1959 AMC 12 Problema 23

Question

El conjunto de soluciones de la ecuación

\log_{10}(a^2-15a)=2

consta de:

The set of solutions for the equation

\log_{10}(a^2-15a)=2

consists of:

dos enteros

two integers

un entero y una fracción

one integer and one fraction

dos números irracionales

two irrational numbers

dos números no reales

two non-real numbers

ningún número, es decir, el conjunto es vacío

no numbers, that is, the set is empty

Convierte la ecuación logarítmica a forma exponencial

Convert the logarithmic equation to exponential form

Resuelve

a^2-15a=100

y comprueba que el argumento del logaritmo sea positivo

Solve

a^2-15a=100

and check that the logarithm’s argument is positive

La ecuación equivale a

a^2-15a=100,

o

(a-20)(a+5)=0.

Por lo tanto,

a=20

o

a=-5.

En ambos casos el argumento del logaritmo es

100,

así que las dos soluciones son enteros válidos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The equation is equivalent to

a^2-15a=100,

or

(a-20)(a+5)=0.

Thus

a=20

or

a=-5.

In both cases the logarithm’s argument is

100,

so both solutions are valid integers.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 23 en otros años