1962 AMC 12 Problema 23

Question

En el triángulo

ABC,

CD

es la altura relativa a

AB

y

AE

es la altura relativa a

BC.

Si se conocen las longitudes de

AB,

CD,

y

AE,

la longitud de

DB

queda:

In triangle

ABC,

CD

is the altitude to

AB

and

AE

is the altitude to

BC.

If the lengths of

AB,

CD,

and

AE

are known, the length of

DB

is:

sin determinar con la información dada

not determined by the information given

determinada solo si

A

es un ángulo agudo

determined only if

A

is an acute angle

determinada solo si

B

es un ángulo agudo

determined only if

B

is an acute angle

determinada solo si

ABC

es un triángulo acutángulo

determined only if

ABC

is an acute triangle

ninguna de las anteriores es correcta

none of these is correct

Respuesta: E

Conceptos:área del triángulo altura Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Calcula el área del triángulo de dos maneras usando las dos alturas conocidas

Compute the triangle’s area in two ways using the two known altitudes

Pista grande:

Después de hallar

BC,

usa el triángulo rectángulo

BCD

After finding

BC,

use right triangle

BCD

Solución:

Sean

AB=c,

CD=h,

y

AE=e.

Al igualar dos fórmulas para el área se obtiene

\frac12ch=\frac12(BC)e,

así que

BC=\frac{ch}{e}.

Como el triángulo

BCD

es rectángulo en

D,

DB=\sqrt{BC^2-CD^2}.

Esto determina

DB

tanto si el triángulo original es acutángulo, rectángulo u obtusángulo, así que ninguna de las primeras cuatro opciones es correcta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

AB=c,

CD=h,

and

AE=e.

Equating two area formulas gives

\frac12ch=\frac12(BC)e,

so

BC=\frac{ch}{e}.

Since triangle

BCD

is right at

D,

DB=\sqrt{BC^2-CD^2}.

This determines

DB

whether the original triangle is acute, right, or obtuse, so none of the first four choices is correct.

Thus, the correct answer is E.

1962 AMC 12 Problema 23

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años