1963 AMC 12 Problema 18

Question

La cuerda

EF

es la mediatriz de la cuerda

BC,

a la que corta en

M.

Se toma un punto

U

entre

B

y

M

, y la prolongación de

EU

corta al círculo en

A.

Para cualquier elección de

U

descrita así, el triángulo

EUM

es semejante al triángulo:

Chord

EF

is the perpendicular bisector of chord

BC,

intersecting it in

M.

Between

B

and

M

point

U

is taken, and

EU

extended meets the circle in

A.

Then, for any selection of

U,

as described, triangle

EUM

is similar to triangle:

EFA

EFC

ABM

ABU

FMC

Respuesta: A

Conceptos:cuerda círculo semejanza

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Como la mediatriz de una cuerda pasa por el centro,

EF

es un diámetro

Because the perpendicular bisector of a chord passes through the center,

EF

is a diameter

Pista grande:

Compara los ángulos rectos y el ángulo común en

E

Compare the right angles and the shared angle at

E

Solución:

Como

EF

es un diámetro,

\angle EAF=90^\circ.

Además,

EF\perp BC,

así que

\angle EMU=90^\circ.

Como

E,U,A

son colineales, los dos triángulos comparten el mismo ángulo agudo en

E.

Por ello,

\triangle EUM\sim\triangle EFA.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since

EF

is a diameter,

\angle EAF=90^\circ.

Also

EF\perp BC,

so

\angle EMU=90^\circ.

Because

E,U,A

are collinear, the two triangles share the same acute angle at

E.

Hence

\triangle EUM\sim\triangle EFA.

Therefore, the correct answer is A.