1968 AMC 12 Problema 23

Question

Si todos los logaritmos son números reales, la igualdad

\begin{aligned} \log(x+3)+\log(x-1)\\ =\log(x^2-2x-3) \end{aligned}

se satisface para:

If all the logarithms are real numbers, the equality

\begin{aligned} \log(x+3)+\log(x-1)\\ =\log(x^2-2x-3) \end{aligned}

is satisfied for:

todos los valores reales de

x

all real values of

x

ningún valor real de

x

no real values of

x

todos los valores reales de

x

excepto

x=0

all real values of

x

except

x=0

ningún valor real de

x

excepto

x=0

no real values of

x

except

x=0

todos los valores reales de

x

excepto

x=1

all real values of

x

except

x=1

Combina los dos logaritmos del lado izquierdo

Combine the two logarithms on the left

Resuelve la ecuación algebraica resultante y luego comprueba su dominio

Solve the resulting algebraic equation, then test its domain

Combinar los logaritmos exigiría

(x+3)(x-1)=x^2-2x-3.

Esto da

x=0.

Pero entonces

x-1=-1,

de modo que el logaritmo de la izquierda no es real. Por consiguiente, no hay soluciones reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Combining logarithms would require

(x+3)(x-1)=x^2-2x-3.

This gives

x=0.

But then

x-1=-1,

so the logarithm on the left is not real. Hence there are no real solutions.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 23 en otros años