1972 AMC 12 Problema 23

Question

El radio del círculo más pequeño que contiene la figura simétrica mostrada, compuesta por

3

cuadrados unitarios, es:

The radius of the smallest circle containing the symmetric figure composed of

3

unit squares shown is:

\sqrt2

\sqrt{1.25}

1.25

\dfrac{5\sqrt{17}}{16}

Ninguna de estas

None of these

Por simetría, sitúa el centro del círculo sobre el eje vertical de la figura

By symmetry, place the circle’s center on the vertical axis of the figure

Iguala sus distancias a un vértice exterior inferior y a uno exterior superior

Equate its distances to a lower outer corner and an upper outer corner

Sitúa el punto medio del lado inferior en

O=(0,0).

Un vértice exterior inferior es

A=(1,0),

y uno exterior superior es

B=(\frac{1}{2},2).

Por simetría, el centro del círculo envolvente mínimo es

P=(0,k).

En la posición óptima, ambos tipos de vértice exterior están en el círculo, de modo que

1+k^2=\left(\frac12\right)^2+(2-k)^2.

Esto da

k=\frac{13}{16}.

Por lo tanto,

\begin{aligned} r^2&=1+\left(\frac{13}{16}\right)^2 =\frac{425}{256},\\ r&=\frac{5\sqrt{17}}{16}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Put the midpoint of the bottom edge at

O=(0,0).

A lower outer corner is

A=(1,0),

and an upper outer corner is

B=(\frac{1}{2},2).

By symmetry the center of the smallest enclosing circle is

P=(0,k).

At the optimum both types of outer corner lie on the circle, so

1+k^2=\left(\frac12\right)^2+(2-k)^2.

This gives

k=\frac{13}{16}.

Hence

\begin{aligned} r^2&=1+\left(\frac{13}{16}\right)^2 =\frac{425}{256},\\ r&=\frac{5\sqrt{17}}{16}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 23 en otros años