1975 AMC 12 Problema 23

Question

En la figura adjunta,

AB

y

BC

son lados adyacentes del cuadrado

ABCD;

M

es el punto medio de

AB;

N

es el punto medio de

BC;

y

AN

y

CM

se cortan en

O.

La razón entre el área de

AOCD

y el área de

ABCD

es

In the adjoining figure

AB

and

BC

are adjacent sides of square

ABCD;

M

is the midpoint of

AB;

N

is the midpoint of

BC;

and

AN

and

CM

intersect at

O.

The ratio of the area of

AOCD

to the area of

ABCD

is

\frac56

\frac34

\frac23

\frac{\sqrt3}{2}

\frac{\sqrt3-1}{2}

Respuesta: C

Conceptos:baricentro cuadrado (geometría)descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

En el triángulo

ABC,

tanto

AN

como

CM

son medianas

In triangle

ABC,

both

AN

and

CM

are medians

Pista grande:

Asigna coordenadas al cuadrado y localiza el baricentro

O

Use coordinates for the square and locate the centroid

O

Solución:

Toma

A=(0,0),B=(1,0),

C=(1,1),D=(0,1).

Como

O

es el baricentro del triángulo

ABC,

O=(\frac{2}{3},\frac{1}{3}).

Los triángulos

AOB

y

COB

tienen cada uno área

\frac{1}{6}.

Al quitarlos del cuadrado unitario queda

[AOCD]=1-\frac16-\frac16=\frac23.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Take

A=(0,0),B=(1,0),

C=(1,1),D=(0,1).

Since

O

is the centroid of triangle

ABC,

O=(\frac{2}{3},\frac{1}{3}).

Triangles

AOB

and

COB

each have area

\frac{1}{6}.

Removing them from the unit square leaves

[AOCD]=1-\frac16-\frac16=\frac23.

Therefore, the correct answer is C.