1978 AMC 12 Problema 13

Question

Si

a,

b,

c,

y

d

son números no nulos tales que

c

y

d

son las raíces de

x^2+ax+b=0

y

a

y

b

son las raíces de

x^2+cx+d=0,

entonces

a+b+c+d

es igual a

If

a,

b,

c,

and

d

are nonzero numbers such that

c

and

d

are the solutions of

x^2+ax+b=0

and

a

and

b

are the solutions of

x^2+cx+d=0,

then

a+b+c+d

equals

0

-2

2

4

\frac{-1+\sqrt5}{2}

Respuesta: B

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Aplica las fórmulas de Vieta a ambas ecuaciones cuadráticas

Apply Vieta’s formulas to both quadratics

Pista grande:

Las dos ecuaciones de las sumas implican

b=d

; luego usa las ecuaciones de los productos y la condición de no nulidad

The two sum equations imply

b=d

; then use the product equations and nonzero condition

Solución:

Las fórmulas de Vieta dan

\begin{aligned} c+d&=-a,& cd&=b,\\ a+b&=-c,& ab&=d. \end{aligned}

Las dos ecuaciones de las sumas implican

b=d.

Como

b=d\ne0,

las ecuaciones de los productos dan

a=c=1.

Luego

a+b=-c

da

b=d=-2,

y por lo tanto

a+b+c+d=-2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Vieta’s formulas give

\begin{aligned} c+d&=-a,& cd&=b,\\ a+b&=-c,& ab&=d. \end{aligned}

The two sum equations imply

b=d.

Since

b=d\ne0,

the product equations give

a=c=1.

Then

a+b=-c

gives

b=d=-2,

and therefore

a+b+c+d=-2.

Therefore, the correct answer is B.