1980 AMC 12 Problema 23

Question

Los segmentos trazados desde el vértice opuesto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo hasta los puntos que trisecan la hipotenusa tienen longitudes

\sin x

y

\cos x,

donde

x

es un número real tal que

0\lt x\lt\frac\pi2.

La longitud de la hipotenusa es

Line segments drawn from the vertex opposite the hypotenuse of a right triangle to the points trisecting the hypotenuse have lengths

\sin x

and

\cos x,

where

x

is a real number such that

0\lt x\lt\frac\pi2.

The length of the hypotenuse is

\frac43

\frac32

\frac{3\sqrt5}{5}

\frac{2\sqrt5}{3}

no está determinada de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: C

Conceptos:triángulo rectángulo geometría analítica Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Coloca la hipotenusa sobre el eje

x

y asigna coordenadas al vértice del ángulo recto

Put the hypotenuse on the

x

-axis and assign coordinates to the right-angle vertex

Pista grande:

Suma los cuadrados de las longitudes de los dos segmentos a los puntos de trisección para cancelar la posición horizontal desconocida

Add the squares of the two trisector-segment lengths so the unknown horizontal position cancels

Solución:

Sean

(0,0)

y

(h,0),

los extremos de la hipotenusa, y sea

(u,v)

el vértice del ángulo recto. La condición de ángulo recto da

u^2+v^2=hu.

La suma de los cuadrados de las distancias a

(\frac{h}{3},0)

y

(\frac{2h}{3},0)

es

\begin{aligned} &(u-\frac{h}{3})^2+v^2\\ &\quad+(u-\frac{2h}{3})^2+v^2 =\frac{5h^2}{9}. \end{aligned}

Esto también es igual a

\sin^2x+\cos^2x=1.

Por consiguiente,

h=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the hypotenuse have endpoints

(0,0)

and

(h,0),

and let the right-angle vertex be

(u,v).

The right-angle condition gives

u^2+v^2=hu.

The squared distances to

(\frac{h}{3},0)

and

(\frac{2h}{3},0)

sum to

\begin{aligned} &(u-\frac{h}{3})^2+v^2\\ &\quad+(u-\frac{2h}{3})^2+v^2 =\frac{5h^2}{9}. \end{aligned}

This also equals

\sin^2x+\cos^2x=1.

Hence

h=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}.

Therefore, the correct answer is C.