1986 AMC 12 Problema 23

Question

Sea

\begin{aligned} N={}&69^5+5\cdot69^4+10\cdot69^3\\ &{}+10\cdot69^2+5\cdot69+1. \end{aligned}

¿Cuántos enteros positivos son factores de

N

?

Let

\begin{aligned} N={}&69^5+5\cdot69^4+10\cdot69^3\\ &{}+10\cdot69^2+5\cdot69+1. \end{aligned}

How many positive integers are factors of

N?

3

5

69

125

216

Reconoce los coeficientes

1,5,10,10,5,1

Recognize the coefficients

1,5,10,10,5,1

Después de usar el teorema del binomio, factoriza en primos la base resultante

After using the binomial theorem, factor the resulting base into primes

Por el teorema del binomio,

\begin{aligned} N&=(69+1)^5=70^5\\ &=2^5\cdot5^5\cdot7^5. \end{aligned}

Un divisor elige de manera independiente un exponente de

0

a

5

para cada uno de los tres primos. Por tanto,

N

tiene

6^3=216

divisores positivos.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

By the binomial theorem,

\begin{aligned} N&=(69+1)^5=70^5\\ &=2^5\cdot5^5\cdot7^5. \end{aligned}

A divisor independently chooses an exponent from

0

through

5

for each of the three primes. Thus

N

has

6^3=216

positive divisors.

Therefore the correct answer is E.

El Problema 23 en otros años