1993 AMC 12 Problema 24

Question

Una caja contiene

3

centavos brillantes y

4

opacos. Se extraen los centavos al azar, uno a uno y sin reemplazo. Si la probabilidad de que hagan falta más de cuatro extracciones para que aparezca el tercer centavo brillante es

\frac{a}{b}

, y

\frac{a}{b}

está en su mínima expresión, entonces

a+b=

A box contains

3

shiny pennies and

4

dull pennies. One by one, pennies are drawn at random from the box and not replaced. If the probability is

\frac{a}{b}

that it will take more than four draws until the third shiny penny appears and

\frac{a}{b}

is in lowest terms, then

a+b=

11

20

35

58

66

Respuesta: E

Conceptos:probabilidad complementaria combinaciones random ordering

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Considera que los tres centavos brillantes ocupan tres de las siete posiciones de extracción

View the three shiny pennies as occupying three of seven draw positions

Pista grande:

Resta los casos en los que los tres centavos brillantes aparecen entre las primeras cuatro posiciones

Subtract the cases in which all three shiny pennies occur among the first four positions

Solución:

Los centavos brillantes ocupan un subconjunto de

3

elementos elegido uniformemente entre las

7

posiciones de extracción. Hay

\binom73=35

posibilidades. El tercer centavo brillante aparece a más tardar en la extracción

4

exactamente cuando las tres posiciones brillantes están entre las primeras cuatro, lo que ocurre en

\binom43=4

casos. La probabilidad pedida es

1-\frac4{35}=\frac{31}{35}.

Por lo tanto,

a+b=31+35=66.

Así, la respuesta correcta es E.

The shiny pennies occupy a uniformly chosen

3

-element subset of the

7

draw positions. There are

\binom73=35

possibilities. The third shiny penny appears by draw

4

exactly when all three shiny positions lie among the first four, which occurs in

\binom43=4

cases. The requested probability is

1-\frac4{35}=\frac{31}{35}.

Therefore

a+b=31+35=66.

Thus the correct answer is E.