1995 AMC 12 Problema 24

Question

Existen enteros positivos

A,

B,

y

C,

sin factor común mayor que

1,

tales que

A\log_{200}5+B\log_{200}2=C.

¿Cuál es

A+B+C

?

There exist positive integers

A,

B,

and

C,

with no common factor greater than

1,

such that

A\log_{200}5+B\log_{200}2=C.

What is

A+B+C?

6

7

8

9

10

Combina el lado izquierdo en un solo logaritmo

Combine the left side into one logarithm

Usa

200=2^3\cdot5^2

y compara los exponentes primos

Use

200=2^3\cdot5^2

and compare prime exponents

Al combinar logaritmos se obtiene

\log_{200}(5^A2^B)=C,

por lo que

5^A2^B=200^C=5^{2C}2^{3C}.

Entonces

A=2C

y

B=3C.

La terna positiva sin factor común es

(A,B,C)=(2,3,1),

cuya suma es

6.

La respuesta correcta es A.

Combining logarithms gives

\log_{200}(5^A2^B)=C,

so

5^A2^B=200^C=5^{2C}2^{3C}.

Hence

A=2C

and

B=3C.

The relatively prime positive triple is

(A,B,C)=(2,3,1),

whose sum is

6.

Thus the correct answer is A.

El Problema 24 en otros años