1969 AMC 12 Problema 10

Question

El número de puntos equidistantes de un círculo y de dos tangentes paralelas al círculo es:

The number of points equidistant from a circle and two parallel tangents to the circle is:

0

2

3

4

infinito

infinite

Respuesta: C

Conceptos:círculo recta tangente simetría

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Los puntos equidistantes de las dos tangentes paralelas están en su paralela media

Points equidistant from the two parallel tangents lie on their midway parallel line

Pista grande:

En la recta paralela equidistante de ambas tangentes, compara la distancia a una tangente con la distancia al círculo

On that line, compare distance to either tangent with distance to the circle

Solución:

Sea

O

el centro del círculo y

r

su radio. Un punto equidistante de las dos tangentes paralelas debe estar en su recta media, que pasa por

O.

Si su distancia a

O

es

t,

su distancia a cualquiera de las tangentes es

r,

mientras que su distancia al círculo es

\lvert t-r\rvert.

Así,

\lvert t-r\rvert=r,

lo que da

t=0

o

t=2r.

Hay un punto con

t=0

y dos con

t=2r,

para un total de

3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the circle have center

O

and radius

r.

A point equidistant from the two parallel tangents must lie on their midline, which passes through

O.

If its distance from

O

is

t,

its distance from either tangent is

r,

while its distance from the circle is

\lvert t-r\rvert.

Thus

\lvert t-r\rvert=r,

giving

t=0

or

t=2r.

There is one point with

t=0

and two with

t=2r,

for a total of

3.

Therefore, the correct answer is C.