1961 AMC 12 Problema 16

Question

Una altura

h

de un triángulo se aumenta en una longitud

m.

¿Cuánto debe quitarse de la base correspondiente

b

para que el área nueva sea la mitad del área original?

An altitude

h

of a triangle is increased by a length

m.

How much must be taken from the corresponding base

b

so that the area of the new triangle is one-half that of the original triangle?

\dfrac{bm}{h+m}

\dfrac{bh}{2h+2m}

\dfrac{b(2m+h)}{m+h}

\dfrac{b(m+h)}{2m+h}

\dfrac{b(2m+h)}{2(h+m)}

Sea

t

la cantidad que se quita, de modo que la nueva base es

b-t

Let

t

be the amount removed, so the new base is

b-t

Iguala

\frac12(b-t)(h+m)

a la mitad del área original

Set

\frac12(b-t)(h+m)

equal to half the original area

Si se quita

t

, la condición es

\frac12(b-t)(h+m)=\frac12\left(\frac12bh\right).

Por consiguiente,

b-t=\frac{bh}{2(h+m)},

de modo que

\begin{aligned} t&=b-\frac{bh}{2(h+m)}\\ &=\frac{b(2m+h)}{2(h+m)}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If

t

is removed, the new area condition is

\frac12(b-t)(h+m)=\frac12\left(\frac12bh\right).

Hence

b-t=\frac{bh}{2(h+m)},

so

\begin{aligned} t&=b-\frac{bh}{2(h+m)}\\ &=\frac{b(2m+h)}{2(h+m)}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 16 en otros años