1976 AMC 12 Problema 24

Escala el radio de $K$ a $2,$ de modo que el círculo $L$ tenga radio $1$

Si $M$ tiene radio $t$ y centro $(x,t),$ usa sus tangencias con los dos círculos mayores

Sea $K$ el círculo con centro $(0,0)$ y radio $2,$ y sea $AB$ el eje $x$. Entonces $L$ tiene centro $(0,1)$ y radio $1.$ Si $M$ tiene centro $(x,t)$ y radio $t,$ la tangencia interna con $K$ y la tangencia externa con $L$ dan $$\begin{aligned} x^2+t^2&=(2-t)^2,\\ x^2+(t-1)^2&=(1+t)^2. \end{aligned}$$ Estas ecuaciones se simplifican a $x^2=4-4t$ y $x^2=4t,$ por lo que $t=\frac12.$ La razón de los radios es $2:\frac{1}{2}=4:1,$ y por tanto la razón de las áreas es $16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.