1977 AMC 12 Problema 23

Question

Si las soluciones de la ecuación

x^2+px+q=0

son los cubos de las soluciones de la ecuación

x^2+mx+n=0,

entonces

If the solutions of the equation

x^2+px+q=0

are the cubes of the solutions of the equation

x^2+mx+n=0,

then

p=m^3+3mn

p=m^3-3mn

p+q=m^3

\left(\frac mn\right)^3=\frac pq

ninguna de las anteriores

none of these

Llama

u

y

v

a las raíces de la segunda ecuación y aplica las fórmulas de Vieta

Call the roots of the second equation

u

and

v

and apply Vieta’s formulas

Usa

u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)

Use

u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)

Sean

u,

v

las raíces de

x^2+mx+n.

Entonces

u+v=-m

y

uv=n,

mientras que las raíces de la primera ecuación son

u^3,

v^3.

Así,

\begin{aligned} -p&=u^3+v^3\\ &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=-m^3+3mn. \end{aligned}

Por lo tanto,

p=m^3-3mn.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the roots of

x^2+mx+n

be

u,

v.

Then

u+v=-m

and

uv=n,

while the roots of the first equation are

u^3,

v^3.

Thus

\begin{aligned} -p&=u^3+v^3\\ &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=-m^3+3mn. \end{aligned}

Therefore

p=m^3-3mn.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 23 en otros años