1979 AMC 12 Problema 23

Question

Las aristas de un tetraedro regular con vértices

A,

B,

C,

y

D

tienen longitud uno. Halla la menor distancia posible entre un par de puntos

P

y

Q,

donde

P

está en la arista

AB

y

Q

está en la arista

CD.

The edges of a regular tetrahedron with vertices

A,

B,

C,

and

D

each have length one. Find the least possible distance between a pair of points

P

and

Q,

where

P

is on edge

AB

and

Q

is on edge

CD.

\frac12

\frac34

\frac{\sqrt2}{2}

\frac{\sqrt3}{2}

\frac{\sqrt3}{3}

Respuesta: C

Conceptos:Geometría 3D fórmula de la distancia optimización

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Usa coordenadas simétricas para un tetraedro regular con vértices

(\pm1,\pm1,\pm1)

Use symmetric coordinates for a regular tetrahedron with vertices

(\pm1,\pm1,\pm1)

Pista grande:

Parametriza puntos de las dos aristas opuestas y minimiza la distancia al cuadrado

Parameterize points on the two opposite edges and minimize the squared distance

Solución:

Antes de escalar, toma

\begin{aligned} A&=(1,1,1),\\ B&=(1,-1,-1),\\ C&=(-1,1,-1),\\ D&=(-1,-1,1). \end{aligned}

Estas aristas tienen longitud

2\sqrt2,

así que se escala por

\frac{1}{2\sqrt2}.

Los puntos de

AB

y

CD

tienen las formas

P=(1,t,t)

y

Q=(-1,u,-u).

Antes de escalar,

\begin{aligned} PQ^2&=4+(t-u)^2+(t+u)^2\\ &=4+2t^2+2u^2, \end{aligned}

que se minimiza en

t=u=0.

Después de escalar, la distancia mínima al cuadrado es

\frac{4}{8}=\frac{1}{2},

por lo que la distancia es

\frac{\sqrt2}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Before scaling, take

\begin{aligned} A&=(1,1,1),\\ B&=(1,-1,-1),\\ C&=(-1,1,-1),\\ D&=(-1,-1,1). \end{aligned}

These edges have length

2\sqrt2,

so scale by

\frac{1}{2\sqrt2}.

Points on

AB

and

CD

have forms

P=(1,t,t)

and

Q=(-1,u,-u).

Before scaling,

\begin{aligned} PQ^2&=4+(t-u)^2+(t+u)^2\\ &=4+2t^2+2u^2, \end{aligned}

minimized at

t=u=0.

After scaling, the minimum squared distance is

\frac{4}{8}=\frac{1}{2},

so the distance is

\frac{\sqrt2}{2}.

Therefore, the correct answer is C.