1985 AMC 12 Problema 23

Question

Si

\begin{aligned} x&=\frac{-1+i\sqrt3}{2},\\ y&=\frac{-1-i\sqrt3}{2}, \end{aligned}

donde

i^2=-1,

¿cuál de las siguientes afirmaciones no es correcta?

If

\begin{aligned} x&=\frac{-1+i\sqrt3}{2},\\ y&=\frac{-1-i\sqrt3}{2}, \end{aligned}

where

i^2=-1,

then which of the following is not correct?

x^5+y^5=-1

x^7+y^7=-1

x^9+y^9=-1

x^{11}+y^{11}=-1

x^{13}+y^{13}=-1

Respuesta: C

Conceptos:número complejo aritmética modular raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Reconoce

x

y

y

como las dos raíces cúbicas no reales de la unidad

Recognize

x

and

y

as the two nonreal cube roots of unity

Pista grande:

Sus potencias dependen únicamente del exponente módulo

3

Their powers depend only on the exponent modulo

3

Solución:

Los números son las dos raíces cúbicas no reales de la unidad, por lo que

x^n+y^n=2\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right).

Esto es

-1

cuando

n

no es divisible por

3,

pero es

2

cuando

n

es divisible por

3.

De los exponentes dados, solo

9

es divisible entre

3,

así que su ecuación es la que no es correcta.

La respuesta correcta es C.

The numbers are the two nonreal cube roots of unity, so

x^n+y^n=2\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right).

This equals

-1

when

n

is not divisible by

3,

but equals

2

when

n

is divisible by

3.

Of the listed exponents, only

9