1988 AMC 12 Problema 24

Question

Un trapecio isósceles está circunscrito a una circunferencia. La base mayor del trapecio mide

16,

y uno de los ángulos de la base es

\arcsin(0.8).

Halla el área del trapecio.

An isosceles trapezoid is circumscribed around a circle. The longer base of the trapezoid is

16,

and one of the base angles is

\arcsin(0.8).

Find the area of the trapezoid.

72

75

80

90

no se puede determinar de manera única

not uniquely determined

Respuesta: C

Conceptos:tangential quadrilateral isosceles trapezoid trigonometría área

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

En un cuadrilátero circunscrito, las sumas de las longitudes de los lados opuestos son iguales

For a circumscribed quadrilateral, the sums of opposite side lengths are equal

Pista grande:

Usa

\sin\alpha=\frac{4}{5}

y

\cos\alpha=\frac{3}{5}

para relacionar el lado no paralelo, la altura y la diferencia de las bases

Use

\sin\alpha=\frac{4}{5}

and

\cos\alpha=\frac{3}{5}

to relate the leg, height, and difference of the bases

Solución:

Sea

b

la base menor y sea

\ell

la longitud de cada lado no paralelo. La tangencia da

16+b=2\ell.

Si el ángulo de la base es

\alpha,

entonces

\sin\alpha=\frac{4}{5},\ \cos\alpha=\frac{3}{5},

y

16-b=2\ell\cos\alpha=(\frac{6}{5})\ell.

Al resolver, se obtiene

b=4,\ \ell=10,

y la altura es

\ell\sin\alpha=8.

El área es

\frac12(16+4)(8)=80.

Por tanto, la respuesta correcta es C.

Let the shorter base be

b

and each leg be

\ell.

Tangency gives

16+b=2\ell.

If the base angle is

\alpha,

then

\sin\alpha=\frac{4}{5},\ \cos\alpha=\frac{3}{5},

and

16-b=2\ell\cos\alpha=(\frac{6}{5})\ell.

Solving gives

b=4,\ \ell=10,

and height

\ell\sin\alpha=8.

The area is

\frac12(16+4)(8)=80.

Thus the correct answer is C.