1991 AMC 12 Problema 23

Question

Si

ABCD

es un cuadrado de

2\times2

,

E

es el punto medio de

AB,

F

es el punto medio de

BC,

AF

y

DE

se cortan en

I,

y

BD

y

AF

se cortan en

H,

entonces el área del cuadrilátero

BEIH

es

If

ABCD

is a

2\times2

square,

E

is the midpoint of

AB,

F

is the midpoint of

BC,

AF

and

DE

intersect at

I,

and

BD

and

AF

intersect at

H,

then the area of quadrilateral

BEIH

is

\frac13

\frac25

\frac7{15}

\frac8{15}

\frac35

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica line intersection polygon area

Nivel de dificultad: 2250

Pista pequeña:

Asigna coordenadas al cuadrado y escribe las ecuaciones de

AF,

DE,

y

BD

Assign coordinates to the square and write equations for

AF,

DE,

and

BD

Pista grande:

Halla

I

y

H,

y luego usa la fórmula del zapatero con

B,E,I,H

Find

I

and

H,

then use the shoelace formula on

B,E,I,H

Solución:

Sea

B=(0,0),

C=(2,0),

D=(2,2),

y

A=(0,2).

Entonces

E=(0,1),

F=(1,0),

y las intersecciones son

\begin{aligned} I&=AF\cap DE =\left(\frac25,\frac65\right),\\ H&=AF\cap BD =\left(\frac23,\frac23\right). \end{aligned}

La fórmula del zapatero da

\begin{aligned} [BEIH] &=\frac12\left| \frac4{15}-\frac25-\frac45 \right|\\ &=\frac7{15}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Set

B=(0,0),

C=(2,0),

D=(2,2),

and

A=(0,2).

Then

E=(0,1),

F=(1,0),

and the line intersections are

\begin{aligned} I&=AF\cap DE =\left(\frac25,\frac65\right),\\ H&=AF\cap BD =\left(\frac23,\frac23\right). \end{aligned}

The shoelace formula gives

\begin{aligned} [BEIH] &=\frac12\left| \frac4{15}-\frac25-\frac45 \right|\\ &=\frac7{15}. \end{aligned}

Thus the correct answer is C.