1960 AMC 12 Problema 23

Question

El radio

R

de una caja cilíndrica mide

8

pulgadas y la altura

H

mide

3

pulgadas. El volumen

V=\pi R^2H

debe aumentar en la misma cantidad positiva fija cuando

R

aumenta

x

pulgadas que cuando

H

aumenta

x

pulgadas. Esta condición se satisface con:

The radius

R

of a cylindrical box is

8

inches, the height

H

is

3

inches. The volume

V=\pi R^2H

is to be increased by the same fixed positive amount when

R

is increased by

x

inches as when

H

is increased by

x

inches. This condition is satisfied by:

ningún valor real de

x

no real value of

x

un valor entero de

x

one integral value of

x

un valor racional, pero no entero, de

x

one rational, but not integral, value of

x

un valor irracional de

x

one irrational value of

x

dos valores reales de

x

two real values of

x

Respuesta: C

Conceptos:cilindro volumen cuadrática

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Escribe el aumento de volumen una vez con radio

8+x

y otra con altura

3+x

Write the volume increase once with radius

8+x

and once with height

3+x

Pista grande:

Iguala los aumentos y descarta la solución no positiva

Equate the increases and discard the nonpositive solution

Solución:

Al aumentar el radio, el volumen cambia en

3\pi\big((8+x)^2-8^2\big),

mientras que al aumentar la altura cambia en

64\pi x.

Al igualar estas expresiones se obtiene

48x+3x^2=64x,

así que

x=0

o

x=\frac{16}{3}.

El aumento debe ser positivo, por lo que queda un solo valor racional no entero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Increasing the radius changes the volume by

3\pi\big((8+x)^2-8^2\big),

while increasing the height changes it by

64\pi x.

Equating these gives

48x+3x^2=64x,

so

x=0

or

x=\frac{16}{3}.

The increase must be positive, leaving one rational but nonintegral value.

Thus, the correct answer is C.